Question

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，給出下列命題：

①當(dāng)時(shí)， ②函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)

③的解集為 ④，都有

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1

Answer 1

【答案】A

【解析】

對(duì)于①：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

對(duì)于②：先求出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)，就可以求出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以有。

對(duì)于③:分類討論，當(dāng)時(shí)，求出的解集；當(dāng)時(shí),求出的解集。

對(duì)于④：利用導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的值域，就可以判斷是否正確。

對(duì)于①：當(dāng)時(shí)，有,由奇函數(shù)定義可知：，所以

本命題正確；

對(duì)于②：當(dāng)時(shí)， ，解得，即，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，又因?yàn)槎�義域是，所以，因此函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，本命題正確；

對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，，即,解得，；

當(dāng)時(shí)，通過(guò)①的分析，可知，當(dāng)時(shí)，即，解得，，本命題正確；

對(duì)于④：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng) ，函數(shù)單調(diào)遞減，

的極大值為，

當(dāng)時(shí)，，根據(jù)③可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，，由于是奇函數(shù)時(shí)，，

而，所以當(dāng)時(shí)，，即恒成立，本命題正確。

綜上所述，有4個(gè)命題是正確的，因此本題選A。