Question

已知函數f（x）=x²+2alnx．
（1）若函數f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為1，求實數a的值；
（2）若函數g（x）=

2

x

+f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由導數的幾何意義得f'（2）=1，解得即可；
（2）根據函數的單調性與導數的關系可得g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即-

2

x2

+2x+

2a

x

≤0在[1，2]上恒成立．即a≤

1

x

-x2在[1，2]上恒成立．利用導數求出函數h(x)=

1

x

-x2，在[1，2]上的最小值，即可得出結論．

解答： 解：（1）f′(x)=2x+

2a

x

=

2x2+2a

x

…（2分）
由已知f'（2）=1，解得a=-3．…（4分）
（2）由g(x)=

2

x

+x2+2alnx得g′(x)=-

2

x2

+2x+

2a

x

，
由已知函數g（x）為[1，2]上的單調減函數，
則g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即-

2

x2

+2x+

2a

x

≤0在[1，2]上恒成立．
即a≤

1

x

-x2在[1，2]上恒成立．…（9分）
令h(x)=

1

x

-x2，在[1，2]上h′(x)=-

1

x2

-2x=-(

1

x2

+2x)＜0，
所以h（x）在[1，2]為減函數.h(x) min=h(2)=-

7

2

，
所以a≤-

7

2

．…（13分）

點評：本題主要考查導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性、最值等知識，屬于中檔題．