Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），拋物線x²=2py上的點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1）處的切線經(jīng)過(guò)橢圓C的下頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F₁的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）．請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)常數(shù)λ，使得|$\overrightarrow{{F}_{2}A}$-$\overrightarrow{{F}_{2}B}$|=λ$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$恒成立？若存在，請(qǐng)求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，求△ABF₂（F₂為橢圓C的右焦點(diǎn)）內(nèi)切圓面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1）代入x²=2py，可得p=1，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線方程，進(jìn)而可得b，a，即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)l的方程為x=my-1，代入橢圓方程，整理可得（m²+2）y²-2my-1=0，利用韋達(dá)定理、向量的運(yùn)算，結(jié)合|$\overrightarrow{{F}_{2}A}$-$\overrightarrow{{F}_{2}B}$|=λ$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，可得λ的值；
（3）利用${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•4ar=2$\sqrt{2}$r=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=|y₁-y₂|，求出r=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$|y₁-y₂|，可得面積，利用基本不等式，即可求△ABF₂（F₂為橢圓C的右焦點(diǎn)）內(nèi)切圓面積的取值范圍．

解答 解：（1）點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1）代入x²=2py，可得p=1，∴x²=2y，即y=$\frac{1}{2}$x²，
∴y′=x，
∴拋物線x²=2py上的點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1）處的切線斜率為$\sqrt{2}$，
∴拋物線x²=2py上的點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1）處的切線方程為y-1=$\sqrt{2}$（x-$\sqrt{2}$），即y=$\sqrt{2}$x-1，
令x=0得y=-1，
∴b=1，
∴a=$\sqrt{^{2}+1}$=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），設(shè)l的方程為x=my-1，
代入橢圓方程，整理可得（m²+2）y²-2my-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{m}^{2}+2}$，
∴|$\overrightarrow{{F}_{2}A}$-$\overrightarrow{{F}_{2}B}$|=|$\overrightarrow{BA}$|=$\sqrt{（{m}^{2}+1）（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$，
∵$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=（x₁+1，y₁）=（my₁，y₁），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（x₂+1，y₂）=（my₂，y₂），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（m²+1）y₁y₂=-$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}$，
∴存在實(shí)常數(shù)λ=-2$\sqrt{2}$，使得|$\overrightarrow{{F}_{1}A}$-$\overrightarrow{{F}_{2}B}$|=λ$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$恒成立；
（3）設(shè)△ABF₂（F₂為橢圓C的右焦點(diǎn)）內(nèi)切圓的半徑為r，則
${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•4ar=2$\sqrt{2}$r=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=|y₁-y₂|
∴r=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$|y₁-y₂|
∴S_圓=$\frac{π}{8}$（y₁-y₂）²=$\frac{π（{m}^{2}+1）}{（{m}^{2}+2）^{2}}$
設(shè)m²+1=t（t≥1），∴S_圓=$\frac{π}{t+\frac{1}{t}+2}$
∵t≥1，∴t+$\frac{1}{t}$+2≥4（t=1，即m=0時(shí)取等號(hào)），
∴0＜S_圓=$\frac{π}{t+\frac{1}{t}+2}$≤$\frac{π}{4}$，
∴△ABF₂內(nèi)切圓面積的取值范圍是（0，$\frac{π}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查面積的計(jì)算域基本不等式的運(yùn)用，有難度．