Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin²θ-4cosθ=0，直線l過點(diǎn)M（0，4）且斜率為-2．
（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，寫出直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）將極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義得出直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程；
（2）把直線參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系個(gè)參數(shù)的幾何意義計(jì)算|AB|．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρsin²θ-4cosθ=0，即ρ²sin²θ-4ρcosθ=0，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²-4x=0，即y²=4x．
設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα=-2，∴sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=4+\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得t²+5$\sqrt{5}$t+20=0，
∴t₁+t₂=-5$\sqrt{5}$，t₁t₂=20．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=3$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程得轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．