Question

【題目】如圖，已知等邊的邊長(zhǎng)為4,，分別為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且，將沿折到的位置，使平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）設(shè)，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)已知條件可證出，再由面面垂直的性質(zhì)定理并結(jié)合平面平面可得出平面，然后再由和可證得，再在正中易證得平面，最后由面面垂直的判定定理即可得出所證的結(jié)論；

（2）首先由（1）可知，平面，即為三棱錐底面上的高，然后結(jié)合已知可得出，，，進(jìn)而可得，最后由三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出所求的結(jié)果.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，為等邊的，邊的中點(diǎn)，

所以是等邊三角形，且.因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以.

又由于平面平面，平面，所以平面.

又平面，所以.因?yàn)?/span>，所以，所以.

在正中知，所以.而，所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，所以為三棱錐底面上的高．

根據(jù)正三角形的邊長(zhǎng)為4，知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以．

易知，．

又由（1）知，所以，

所以，

所以．