【題目】設(shè)函數(shù),.
(Ⅰ)當(dāng),時(shí),設(shè),求證:對(duì)任意的,;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意,不等式恒成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)首先將所證問(wèn)題“對(duì)任意的,”轉(zhuǎn)化為“”,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為“”,然后令,并求出其導(dǎo)函數(shù)并判斷其函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而得出所證的結(jié)果;(Ⅱ)首先將問(wèn)題“對(duì)任意,不等式恒成立”轉(zhuǎn)化為“”,然后構(gòu)造函數(shù),,并求出導(dǎo)函數(shù)并進(jìn)行分類(lèi)討論:當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí),并分別求出其導(dǎo)函數(shù)并判斷其單調(diào)性,最后結(jié)合已知條件即可得出所求的結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ)當(dāng),時(shí),,
所以等價(jià)于.
令,則,可知函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以,即,亦即,
所以.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,.
所以不等式等價(jià)于.
令,,
則.
當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,
所以根據(jù)題意,知有,∴.
當(dāng)時(shí),由,知函數(shù)在上單調(diào)增減;
由,知函數(shù)在上單調(diào)遞增.
所以.
由條件知,,即.
設(shè),,則,,
所以在上單調(diào)遞減.
又,所以與條件矛盾.
綜上可知,實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直二面角D—AB—E中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,AE=EB,F(xiàn)為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE.
(1)求證:AE⊥平面BCE;
(2)求二面角B—AC—E的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列變化過(guò)程中,變量之間不是函數(shù)關(guān)系的為( )
A.地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的過(guò)程中,二者間的距離與時(shí)間的關(guān)系
B.在銀行,給定本金和利率后,活期存款的利息與存款天數(shù)的關(guān)系
C.某地區(qū)玉米的畝產(chǎn)量與灌溉次數(shù)的關(guān)系
D.近年來(lái)中國(guó)高鐵年運(yùn)營(yíng)里程與年份的關(guān)系
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊中,,分別為,邊的中點(diǎn),為的中點(diǎn),為邊上一點(diǎn),且,將沿折到的位置,使平面平面.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓:相交于、兩點(diǎn), 與直線:相交于.
(1)當(dāng)與垂直時(shí),求直線的方程,并判斷圓心與直線的位置關(guān)系;
(2)當(dāng)時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一盒中裝有除顏色外其余均相同的12個(gè)小球,從中隨機(jī)取出1個(gè)球,取出紅球的概率為,取出黑球的概率為,取出白球的概率為,取出綠球的概率為.求:
(1)取出的1個(gè)球是紅球或黑球的概率;
(2)取出的1個(gè)球是紅球或黑球或白球的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊的邊長(zhǎng)為4,,分別為邊的中點(diǎn),為的中點(diǎn),為邊上一點(diǎn),且,將沿折到的位置,使平面平面.
(1)求證:平面平面;
(2)設(shè),求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人練習(xí)罰球,每人練習(xí)6組,每組罰球20個(gè),命中個(gè)數(shù)莖葉圖如下:
(1)求甲命中個(gè)數(shù)的中位數(shù)和乙命中個(gè)數(shù)的眾數(shù);
(2)通過(guò)計(jì)算,比較甲乙兩人的罰球水平.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解游客對(duì)2015年“十一”小長(zhǎng)假的旅游情況是否滿(mǎn)意,某旅行社從年齡在內(nèi)的游客中隨機(jī)抽取了1000人,并且作出了各個(gè)年齡段的頻率直方圖(如圖所示),同時(shí)對(duì)這1000人的旅游結(jié)果滿(mǎn)意情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到下表:
(1)求統(tǒng)計(jì)表中和的值;
(2)從年齡在內(nèi)且對(duì)旅游結(jié)果滿(mǎn)意的游客中,采用分層抽樣的方法抽取10人,再?gòu)某槿〉?0人
中隨機(jī)抽取4人做進(jìn)一步調(diào)查,記4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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