4．（1）證明柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；
（2）若a，b∈R+且a+b=1，用柯西不等式求$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$的最大值．

分析 （1）用不等式的左邊減去右邊，并化簡為（ad-bc）2≥0，從而得證不等式成立．
（2）由條件利用柯西不等式求得$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$的最大值．

解答 解：（1）證明：（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ad-bc）2≥0
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．
（2）由柯西不等式可得（12+12）[（$\sqrt{3a+1}$）2+（$\sqrt{3b+1}$）2]≥（$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$）2 ．
∵a+b=1，∴（$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$）2 ≤10，∴$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$的最大值為$\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查用比較法證明不等式，柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
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14．?ABCD中，OA=4，OC=2，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{7}$，M為OA的中點，P為線段BC上一動點（包括端點）．
（1）求∠ABC；
（2）是否存在實數(shù)λ，使（λ$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$）⊥$\overrightarrow{CM}$？若存在，求出滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍，不存在請說明理由．

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15．代數(shù)式（1-x）（1+x）5的展開式中x3的系數(shù)為0．

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12．如圖程序框圖，若實數(shù)a的值為5，則輸出k的值為5．

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19．如果復(fù)數(shù)$\frac{2-bi}{1+2i}$的實部和虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)b=（　�。�
A．-$\frac{2}{3}$B．-$\frac{3}{4}$C．$\frac{3}{4}$D．$\frac{2}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn=$\frac{4}{3}$an-$\frac{1}{3}×$2n+1+$\frac{2}{3}$，n∈N*．
（Ⅰ）求證數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項an；
（Ⅱ）設(shè)T（n）=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$，n∈N*，證明：$\sum_{i=1}^{n}$T（i）＜$\frac{3}{2}$；
（Ⅲ）設(shè)R（n）=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i}$，n≥2，證明：$\frac{n}{2}$＜R（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$）＜n．

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16．某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某四天的用電量與當(dāng)天氣溫，列表如下：
由表中數(shù)據(jù)得到回歸直線方程$\widehat{y}$=-2x+a．據(jù)此預(yù)測當(dāng)氣溫為-4°C時，用電量為68（單位：度）．
氣溫（x℃）181310-1
用電量（度）24343864

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinA，sinB，sinC依次成等比數(shù)列，c=2a且$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=18，則△ABC的面積是3$\sqrt{7}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

14．某商品一直打7折出售，利潤率為47%，購物節(jié)期間，該商品恢復(fù)了原價，并參加了“買一件送同樣一件”的活動，則此時的利潤率為5%．（注：利潤率=（銷售價格-成本）÷成本）

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同步練習(xí)冊答案