Question

14．?ABCD中，OA=4，OC=2，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{7}$，M為OA的中點，P為線段BC上一動點（包括端點）．
（1）求∠ABC；
（2）是否存在實數(shù)λ，使（λ$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$）⊥$\overrightarrow{CM}$？若存在，求出滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍，不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）?ABCO中，$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，兩邊平方可以求出∠ABC的余弦值，從而求出∠ABC的大��；
（2）以O(shè)為原點，OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出$\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{CM}$，
利用向量運算求出λ的解析式，從而得出λ的取值范圍．

解答 解：（1）?ABCO中，OA=4，OC=2，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{7}$，
∴$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，
∴${\overrightarrow{BO}}^{2}$=${\overrightarrow{BA}}^{2}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$+2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，
即${（2\sqrt{7}）}^{2}$=2²+4²+2×2×4cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞，
∴cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{π}{3}$，
即∠ABC=$\frac{π}{3}$；
（2）以O(shè)A為x軸，以過O點的垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
如圖所示；
設(shè)A（4，0），則M（2，0），C（1，$\sqrt{3}$），B（5，$\sqrt{3}$）；
再設(shè)P（x，$\sqrt{3}$），x∈[1，5]；
則$\overrightarrow{OP}$=（x，y），$\overrightarrow{OA}$=（4，0），$\overrightarrow{CM}$=（1，-$\sqrt{3}$）；
假設(shè)存在實數(shù)λ，使（λ$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$）⊥$\overrightarrow{CM}$，
則λ$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{CM}$-$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{CM}$=0，
即4λ-x+$\sqrt{3}$•$\sqrt{3}$=0，
解得λ=$\frac{x-3}{4}$；
又x∈[1，5]，
∴x-3∈[-2，2]，
∴$\frac{x-3}{4}$∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
即λ∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]；
所以，存在符合條件的λ，且λ的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是把所求的問題利用向量表示出來，是綜合性題目．