Question

13．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sinA，sinB，sinC依次成等比數(shù)列，c=2a且$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=18，則△ABC的面積是3$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意分別求得a和c，b和a的關(guān)系，代入余弦定理可求得cosB，進(jìn)而求得sinB的值，利用已知向量的關(guān)系式求得ac，最后代入三角形面積公式即可．

解答 解：依題意知sin²B=sinA•sinC，即b²=ac，
∵c=2a，
∴b=$\sqrt{2}$a，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-2{a}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=c•a•cosB=$\frac{3}{4}$ac=18，
∴ac=24，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×24×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=3$\sqrt{7}$，
故答案為：3$\sqrt{7}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的運(yùn)算．考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．