3.設(shè)a1=2,an+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$,bn=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|-1,則b2014=5•22013-1.

分析 通過an+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$可知bn+1=2bn+1,進(jìn)而可知數(shù)列{bn+1}是以5為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列,計(jì)算即得結(jié)論.

解答 解:∵an+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$,
∴bn+1=|$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-1}$|-1
=|$\frac{\frac{2}{{a}_{n}+1}+2}{\frac{2}{{a}_{n}+1}-1}$|-1
=2|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|-1
=2bn+1,
∴bn+1+1=2(bn+1),
又∵b1+1=|$\frac{{a}_{1}+2}{{a}_{1}-1}$|+1=|$\frac{2+2}{2-1}$|+1=5,
∴數(shù)列{bn+1}是以5為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列,
∴bn+1=5•2n-1,
∴bn=5•2n-1-1,
∴b2014=5•22013-1,
故答案為:5•22013-1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng),注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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