Question

15．已知函數(shù)$f（x）=ln（{x-2}）-\frac{x^2}{2a}$（a為整數(shù)且a≠0）．若f（x）在x₀處取得極值，且${x_0}∉[{e+2，{e^2}+2}]$，而f（x）≥0在[e+2，e²+2]上恒成立，則a的取值范圍是a＞e⁴+2e²．

Answer 1

分析 先求導函數(shù)，求得極值點，確定函數(shù)的單調(diào)性，要使f（x）≥0在[e+2，e²+2]上恒成立，得到關于a的不等式組，由此可求a的取值范圍．

解答 解：求導數(shù)可得f′（x）=$\frac{1}{x-2}$-$\frac{x}{a}$，令f′（x）=0，可得x₀=1±$\sqrt{a+1}$，
∴函數(shù)在（-∞，1-$\sqrt{a+1}$）上單調(diào)減，在（1-$\sqrt{a+1}$，1+$\sqrt{a+1}$）上單調(diào)增，在（1+$\sqrt{a+1}$，+∞）上單調(diào)減
∵f（x）在x₀處取得極值，且x₀∉[e+2，e²+2]，
∴函數(shù)在區(qū)間[e+2，e²+2]上是單調(diào)函數(shù)
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+\sqrt{a+1}{＞e}^{2}+2}\\{f（e+2）≥0}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{e+2＞1+\sqrt{a+1}}\\{f{（e}^{2}+2）≥0}\end{array}\right.$，
∴a＞e⁴+2e²
∴a的取值范圍是a＞e⁴+2e²．
故答案為：a＞e⁴+2e²．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，屬于中檔題．