Question

7．定義：在平面內(nèi)，點(diǎn)P到曲線Γ上的點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)P到曲線Γ的距離．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M：${（{x-\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=12$及點(diǎn)$A（{-\sqrt{2}，0}）$，動(dòng)點(diǎn)P到圓M的距離與到A點(diǎn)的距離相等，記P點(diǎn)的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求曲線W的方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)的直線l（l不與坐標(biāo)軸重合）與曲線W交于不同的兩點(diǎn)C，D，點(diǎn)E在曲線W上，且CE⊥CD，直線DE與x軸交于點(diǎn)F，設(shè)直線DE，CF的斜率分別為k₁，k₂，求$\frac{k_1}{k_2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判斷P點(diǎn)的軌跡為以A、M為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，求出a，b，即可求解曲線W的方程．
（Ⅱ）設(shè)C（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），E（x₂，y₂），則D（-x₁，-y₁），則直線CD的斜率為${k_{CD}}=\frac{y_1}{x_1}$，利用CE⊥CD，求出直線CE的斜率是${k_{CE}}=-\frac{x_1}{y_1}$，設(shè)直線CE的方程為y=kx+m，聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{3}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$通過韋達(dá)定理，求出直線DE的方程為$y+{y_1}=\frac{y_1}{{3{x_1}}}（x+{x_1}）$，頂點(diǎn)F（2x₁，0）．可得${k_2}=-\frac{y_1}{x_1}$，然后推出斜率比值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知：點(diǎn)P在圓內(nèi)且不為圓心，圓M：${（{x-\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=12$及點(diǎn)$A（{-\sqrt{2}，0}）$，動(dòng)點(diǎn)P到圓M的距離與到A點(diǎn)的距離相等，故$|{PA}|+|{PM}|=2\sqrt{3}＞2\sqrt{2}=|{AM}|$，
所以P點(diǎn)的軌跡為以A、M為焦點(diǎn)的橢圓，（2分）
設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，則$\left\{\begin{array}{l}2a=2\sqrt{3}\\ 2c=2\sqrt{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ c=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
所以b²=1，故曲線W的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．（5分）
（Ⅱ）設(shè)C（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），E（x₂，y₂），則D（-x₁，-y₁），則直線CD的斜率為${k_{CD}}=\frac{y_1}{x_1}$，又CE⊥CD，所以直線CE的斜率是${k_{CE}}=-\frac{x_1}{y_1}$，記$-\frac{x_1}{y_1}=k$，設(shè)直線CE的方程為y=kx+m，由題意知k≠0，m≠0，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{3}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$得：（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0．∴${x_1}+{x_2}=-\frac{6mk}{{1+3{k^2}}}$，∴${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{2m}{{1+3{k^2}}}$，由題意知，x₁≠x₂，
所以${k_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=-\frac{1}{3k}=\frac{y_1}{{3{x_1}}}$，（9分）
所以直線DE的方程為$y+{y_1}=\frac{y_1}{{3{x_1}}}（x+{x_1}）$，令y=0，得x=2x₁，即F（2x₁，0）．
可得${k_2}=-\frac{y_1}{x_1}$．（11分）
所以${k_1}=-\frac{1}{3}{k_2}$，即$\frac{k_1}{k_2}=-\frac{1}{3}$．（12分）
（其他方法相應(yīng)給分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線軌跡方程的求法，直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．