【題目】在直角坐標(biāo)系中, 橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其右焦點(diǎn)為,且點(diǎn) 在橢圓上.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任意一點(diǎn),直線交橢圓于另一點(diǎn),直線交直線點(diǎn), 求證:三點(diǎn)在同一條直線上

【答案】(1)(2)見解析

【解析】

(1)(法一)由題意,求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),利用橢圓的定義,求得,進(jìn)而求得的值,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(法二)設(shè)橢圓的方程為),列出方程組,求得的值,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

(2)設(shè),,直線的方程為,聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系和向量的運(yùn)算,即可證得三點(diǎn)共線。

1)(法一)設(shè)橢圓的方程為,

一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∴另一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為,

∴由橢圓定義可知

,,∴橢圓的方程為.

(法二)不妨設(shè)橢圓的方程為),

∵一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∴,①

又∵點(diǎn)在橢圓上,∴,②

聯(lián)立方程①,②,解得,

橢圓的方程為.

2)設(shè),,直線的方程為,

由方程組消去,并整理得:,

,

直線的方程可表示為,

將此方程與直線聯(lián)立,可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為,

,

,所以,

又向量有公共點(diǎn),故,,三點(diǎn)在同一條直線上.

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A. B. C. D.

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