Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（a+x）²-2ln（1+x），且f（x）在x=0處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值
（2）若存在x₀∈[0，1]使不等式f（x₀）-m≤0能成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′(x)=2(a+x)-

2

1+x

，f′（0）=2a-2=0，由此能求出a=1．
（2）要存在x₀∈[0，1]使得不等式f（x₀）-m≤0能成立，只需x∈[0，1]時(shí)，m≥f（x）_min，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可以得到f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)，f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，即f（x）的最小值為f（0）=1，所以m的最小值為1．

解答： 解：（1）∵f（x）=（a+x）²-2ln（1+x），
∴f′(x)=2(a+x)-

2

1+x

，
∵f（x）在x=0處取得極值，
∴f′（0）=2a-2=0，解得a=1．
（2）由（1）得f（x）=（1+x）²-2ln（1+x），
要存在x₀∈[0，1]使得不等式f（x₀）-m≤0能成立，
只需x∈[0，1]時(shí)，m≥f（x）_min．
求導(dǎo)得f′（x）=2（1+x）-

2

1+x

，定義域?yàn)椋?1，+∞），
∵當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（0）=1，
∴m≥1．故實(shí)數(shù)m的最小值為1

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查實(shí)數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．