【題目】在如圖的空間幾何體中,是等腰直角三角形,,四邊形為直角梯形,,為中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)若,求與平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)取中點(diǎn)為,連接和,可得面面,進(jìn)而可得結(jié)論;
(Ⅱ)法一,利用幾何法求線面角;法二,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量運(yùn)算求線面角.
法一:(Ⅰ)證明:取中點(diǎn)為,連接和,
有,面,
有,面,
,面面.
面,平面;
(Ⅱ)四邊形為梯形,,為中點(diǎn),
,即四邊形為平行四邊形,
.
要求與平面所成角,只需求與平面所成角,
連接,,
由題意可知,,,
面,
面面,
點(diǎn)到面的距離就是點(diǎn)到的距離.
,
面,,
,
,又,,
點(diǎn)到的距離為.
在三棱錐中,,
根據(jù),.
記點(diǎn)到面的距離為,
由,得.
所以與平面所成角的正弦為.
法二:以為軸,過點(diǎn)作平面的垂線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
設(shè)點(diǎn)
由題意可得:
由
設(shè)平面法向量為,
,
即:,
故與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,其中,且.
(1)求證:,并由推導(dǎo)的值;
(2)若數(shù)列共有項(xiàng),前項(xiàng)的和為,其后的項(xiàng)的和為,再其后的項(xiàng)的和為,求的比值.
(3)若數(shù)列的前項(xiàng),前項(xiàng)、前項(xiàng)的和分別為,試用含字母的式子來表示(即,且不含字母)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過拋物線的焦點(diǎn)為F且斜率為k的直線l交曲線C于、兩點(diǎn),交圓于M,N兩點(diǎn)(A,M兩點(diǎn)相鄰).
(1)求證:為定值;
(2)過A,B兩點(diǎn)分別作曲線C的切線,,兩切線交于點(diǎn)P,求與面積之積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集為{x|x≠c},則(其中a+c≠0)的取值范圍為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,斜三棱柱中,平面平面,為棱的中點(diǎn),與點(diǎn).若,60°.
(Ⅰ)證明:直線平面;
(Ⅱ)證明:平面平面;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.
(1)設(shè),判斷在上是否為有界函數(shù),若是,請(qǐng)說明理由,并寫出的所有上界的集合;若不是,也請(qǐng)說明理由;
(2)若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列,滿足:對(duì)任意正整數(shù),都有,,成等差數(shù)列,,,成等比數(shù)列,且,.
(Ⅰ)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)=++…+,如果對(duì)任意的正整數(shù),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若函數(shù)存在最小值,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,,平面平面ABC,點(diǎn)D在線段BC上,且,E,F分別為線段PC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)G是PD上的動(dòng)點(diǎn).
(1)證明:.
(2)當(dāng)平面PAC時(shí),求直線PA與平面EFG所成角的正弦值.
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