Question

1．已知sinx-cosx∈[-1，$\sqrt{2}$]，求函數(shù)f（x）=（sinx-a）（cosx+a）的最大值．

Answer 1

分析 令sinx-cosx=t∈[-1，$\sqrt{2}$]，則sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$．可得函數(shù)f（x）=sinxcosx+a（sinx-cosx）+a²=$-\frac{1}{2}（t-a）^{2}$+$\frac{3}{2}{t}^{2}$+$\frac{1}{2}$=g（t）．對a與-1，$\sqrt{2}$的大小關(guān)系分類討論即可得出．

解答 解：令sinx-cosx=t∈[-1，$\sqrt{2}$]，則sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$．
∴函數(shù)f（x）=（sinx-a）（cosx+a）=sinxcosx+a（sinx-cosx）+a²
=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$+at+a²
=$-\frac{1}{2}（t-a）^{2}$+$\frac{3}{2}{t}^{2}$+$\frac{1}{2}$=g（t）．
當(dāng)a$＞\sqrt{2}$時(shí)，t=$\sqrt{2}$時(shí)函數(shù)g（t），即f（x）取得最大值${a}^{2}+\sqrt{2}a-\frac{1}{2}$．
當(dāng)a＜-1時(shí)，t=-1時(shí)函數(shù)g（t），即f（x）取得最大值a²-a．
當(dāng)-1≤a$≤\sqrt{2}$1時(shí)，t=a時(shí)函數(shù)g（t），即f（x）取得最大值$\frac{3}{2}$a²．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的代換、二次函數(shù)的單調(diào)性、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．