Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$-n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{a_n}有沒(méi)有最小項(xiàng)？若有，求出這個(gè)最小項(xiàng)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；當(dāng)n≥2時(shí)，作差可得na_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$-n-（$\frac{（n-1）^{2}}{2}$-（n-1））=n-$\frac{3}{2}$，從而求通項(xiàng)公式；
（2）由a_n=1-$\frac{3}{2n}$討論可知a₁=-$\frac{1}{2}$，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=1-$\frac{3}{2n}$＞0；從而確定最小值．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=$\frac{（n-1）^{2}}{2}$-（n-1），
a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$-n，
作差可得，na_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$-n-（$\frac{（n-1）^{2}}{2}$-（n-1））=n-$\frac{3}{2}$，
故a_n=1-$\frac{3}{2n}$，
a₁=-$\frac{1}{2}$也滿(mǎn)足上式；
故a_n=1-$\frac{3}{2n}$；
（2）∵a_n=1-$\frac{3}{2n}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=1-$\frac{3}{2n}$＞0；
故第一項(xiàng)是數(shù)列的最小項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類(lèi)討論的思想應(yīng)用及數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用．