已知函數(shù)（）.
（1）當時，求的圖象在處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點，且，求證：（其中是的導函數(shù)）．

（1）；（2）；（3）證明見解析.

解析試題分析：解題思路：（1）利用導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）利用該區(qū)間上的極值的正負判斷函數(shù)零點的個數(shù)；（3）通過構造函數(shù)求最值進行證明.規(guī)律總結：利用導數(shù)研究函數(shù)的性質是常見題型，主要是通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、求單調區(qū)間、求極值、最值以及不等式恒成立等問題，往往計算量較大，思維量大，要求學生有較高的邏輯推理能力.
試題解析：（1）當時，，，切點坐標為，
切線的斜率，則切線方程為，即.
（2），則，
因，故時，.當時，；當時，.
所以在處取得極大值.
又，，，則，
在上有兩個零點，則
解得，即實數(shù)的取值范圍是.
（3）因為的圖象與軸交于兩個不同的點，
所以方程的兩個根為，則兩式相減得.又，，則.
下證（*），即證明，，
因為，∴，即證明在上恒成立.
所以，又，∴，
所以在上是增函數(shù)，則，從而知，
故（*）式成立，即成立.
考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.利用導數(shù)研究函數(shù)的零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

若函數(shù)f(x)在定義域R內可導，f(2＋x)＝f(2－x)，且當x∈(－∞，2)時，(x－2)>0.設a＝f(1)，，c＝f(4)，則a,b,c的大小為　　　　　　　.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）求曲線在點（1，0）處的切線方程；
（2）設函數(shù)，其中，求函數(shù)在上的最小值.(其中為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的圖象為曲線E．
(1)若a = 3，b = -9，求函數(shù)f(x)的極值；
(2)若曲線E上存在點P，使曲線E在P點處的切線與x軸平行，求a，b的關系．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù) (R)．
(1)當時，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2-x，a∈R．
（1）當時，求函數(shù)y=f(x)的極值；
（2）是否存在實數(shù)b∈(0,1)，使得當x∈(-1,b]時，函數(shù)f(x)的最大值為f(b)？若存在，求實數(shù)a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知是函數(shù)的一個極值點，其中．
（1）與的關系式；
（2）求的單調區(qū)間；
（3）當時，函數(shù)的圖象上任意一點處的切線的斜率恒大于，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）若是函數(shù)的極值點，求曲線在點處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上為單調增函數(shù)，求的取值范圍；
（3）設為正實數(shù)，且，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)（）
（1）討論函數(shù)的單調性；
（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當時，證明不等式 .

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