Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2$\sqrt{3}$的菱形，∠BAD=120°且PA⊥面ABCD，PA=2$\sqrt{6}$，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥面ABCD
（2）設(shè)Q為PC的中點(diǎn)，求三棱錐M-ANQ的體積．

Answer 1

分析 （1）由M，N分別是PB，PD的中點(diǎn)，可得MN∥BD，即可證明MN∥平面ABCD．
（2）先求所求三棱錐的高h(yuǎn)=$\frac{1}{2}PA$=$\sqrt{6}$，由三角形面積公式可求S_△MNQ=$\frac{1}{2}$MQ•NQ•sin∠NQM的值，根據(jù)三棱錐的體積公式即可得解．

解答 解：（1）證明：
因?yàn)椋篗，N分別是PB，PD的中點(diǎn)，
所以：MN是△PBD的中位線，
所以：MN∥BD，
又因?yàn)椋篗N?面ABCD，BD?面ABCD，
所以：MN∥平面ABCD．
（2）∵底面是邊長為2$\sqrt{3}$的菱形，∠BAD=120°且PA⊥面ABCD，PA=2$\sqrt{6}$，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．
∴三棱錐A-MNQ高h(yuǎn)=$\frac{1}{2}PA$=$\sqrt{6}$，
∵S_△MNQ=$\frac{1}{2}$MQ•NQ•sin∠NQM=$\frac{1}{2}×\frac{BC}{2}×\frac{CD}{2}×sin120°$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
∴V_{三棱錐A-MNQ}=V_{三棱錐M-ANQ}=$\frac{1}{3}$h•S_△MNQ=$\frac{1}{3}×\sqrt{6}×\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．