Question

16．已知命題p：拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的焦點F在橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}$=1上．命題q：直線l經(jīng)過拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的焦點F，且直線l過橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}$=1的左焦點F₁．p∧q是真命題．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）直線l與拋物線相交于A、B，直線l₁、l₂分別切拋物線于A、B，求l₁、l₂的交點P的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過將拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的焦點F（0，1）代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}$=1得b=1，進而橢圓的左焦點是F₁（-1，0），計算即得結論；
（Ⅱ）不妨假定點A在第二象限，通過聯(lián)立直線l與橢圓方程可知A、B點坐標，利用對拋物線方程求導可知斜率，進而計算可得結論．

解答 解：（Ⅰ）拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的焦點為F（0，1），…（1分）
∵p∧q是真命題，
∴將F（0，1）代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}$=1得：b=1．                              …（2分）
∴橢圓方程是$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，它的左焦點是F₁（-1，0）．                       …（3分）
∴直線l的方程是：y=x+1．                                          …（5分）
（Ⅱ）不妨假定點A在第二象限，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$得：A（2-$2\sqrt{2}$，3-$2\sqrt{2}$），B（2+$2\sqrt{2}$，3+$2\sqrt{2}$）．          …（7分）
由y=$\frac{1}{4}$x²得，y′=$\frac{1}{2}$x，
所以直線l₁、l₂的斜率分別是1-$\sqrt{2}$、1+$\sqrt{2}$，…（9分）
∴直線l₁：y-（3-$2\sqrt{2}$）=（1-$\sqrt{2}$）（x-2+$2\sqrt{2}$）、
直線l₂：y-（3+$2\sqrt{2}$）=（1+$\sqrt{2}$）（x-2-$2\sqrt{2}$）．                              …（10分）
解兩個方程構成的方程組得P（2，-1）．                                  …（12分）

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查直線方程、直線交點坐標，注意解題方法的積累，屬于中檔題．