Question

16．命題p：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＜0}\\{ln（x+1），x≥0}\end{array}\right.$且|f（x）|≥ax．q：函數(shù)g（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，g（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a²|+|x-2a²|-3a²），且?x∈R，f（x-1）≤f（x）恒成立．
（1）若p且q為真命題，求a的取值范圍；
（2）若p或q為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出命題p，q為真時，a的取值范圍，
（1）若p且q為真命題，則兩個取值范圍的交集即為答案；
（2）若p或q為真命題，則兩個取值范圍的并集即為答案；

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＜0}\\{ln（x+1），x≥0}\end{array}\right.$，
∴y=|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2x，x＜0\\ ln（x+1），x≥0\end{array}\right.$，
∴y′=$\left\{\begin{array}{l}2x-2，x＜0\\ \frac{1}{x+1}，x≥0\end{array}\right.$，
由y=|f（x）|和y=ax的圖象均過原點，
故命題p為真，即|f（x）|≥ax恒成立時，
僅須y′|_x=0=-2≤a≤0，
即a∈[-2，0]，
∵當(dāng)x≥0時，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．
∴當(dāng)0≤x≤a²時，f（x）=$\frac{1}{2}$（a²-x+2a²-x-3a²）=-x；
當(dāng)a²＜x≤2a²時，f（x）=-a²；
當(dāng)x＞2a²時，f（x）=x-3a²．
畫出其圖象．

由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，即可畫出x＜0時的圖象，
與x＞0時的圖象關(guān)于原點對稱．
若命題q為真，即?x∈R，f（x-1）≤f（x），
即6a²≤1，
解得：a∈[-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]．
（1）若p且q為真命題，則a∈[-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，0]；
（2）若p或q為真命題，則∈[-2，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]．

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，復(fù)合命題的真假，恒成立問題，難度較大，屬于難題．