Question

20．為了調(diào)查學(xué)生星期天晚上學(xué)習(xí)時(shí)間利用問題，某校從高二年級(jí)1000名學(xué)生（其中走讀生450名，住宿生550名）中，采用分層抽樣的方法抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組①[0，30）②[30，60）③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），得到頻率分布直方圖如下，已知抽取的學(xué)生中星期天晚上學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的人數(shù)為5人：
（I）求n的值并補(bǔ)全下列頻率分布直方圖；
（II）如果把“學(xué)生晚上學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”作為是否充分利用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：

	利用時(shí)間充分	利用時(shí)間不充分	總計(jì)
走讀生
住宿生		10
總計(jì)

據(jù)此資料，你是否認(rèn)為學(xué)生“利用時(shí)間是否充分”與走讀、住宿有關(guān)？
（III）若在第①組、第 ②組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時(shí)間的原因，記抽到“學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望；
參考公式：${k^2}=\frac{{n{{（{{n_{11}}{n_{22}}-{n_{12}}{n_{21}}}）}^2}}}{{{n_{11}}{n_{21}}{n_{12}}{n_{22}}}}$．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求出學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的頻率為$\frac{5}{100}$，從而求出n=100，求出第④組的頻率，從而求出第④組的高度，進(jìn)而能求出頻率分布直方圖如圖．
（2）由頻率分布直方圖求出2×2列聯(lián)表，從而得K²≈3.030＜3.841，從而沒有理由認(rèn)為學(xué)生“利用時(shí)間是否充分”與走讀、住宿有關(guān)．
（3）由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，P（X=i）=$\frac{{C}_{5}^{i}{C}_{5}^{3-i}}{{C}_{10}^{3}}$，（i=0，1，2，3），由此能求出X的分布列和EX．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），
由圖可知：P₁=$\frac{1}{3000}$×30=$\frac{1}{100}$，P₂=$\frac{1}{750}$×30=$\frac{4}{100}$，
∴學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的頻率為P₁+P₂=$\frac{5}{100}$   
由題意：n×$\frac{5}{100}$=5∴n=100…（2分）
又P₃=$\frac{1}{375}$×30=$\frac{8}{100}$，P₅=$\frac{1}{100}$×30=$\frac{30}{100}$，
P₆=$\frac{1}{120}$×30=$\frac{25}{100}$，P₇=$\frac{1}{200}$×30=$\frac{15}{100}$，P₈=$\frac{1}{600}$×30=$\frac{5}{100}$
∴P₄=1-（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）=$\frac{12}{100}$
∴第④組的高度為：h=$\frac{12}{100}$×$\frac{1}{30}$=$\frac{12}{3000}$=$\frac{1}{250}$
頻率分布直方圖如圖．…（4分）
（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，
“走讀生”有45人，利用時(shí)間不充分的有15人，
從而2×2列聯(lián)表如下：

	利用時(shí)間充分	利用時(shí)間不充分	總計(jì)
走讀生	30	15	45
住宿生	45	10	55
總計(jì)	75	25	100

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得：…（6分）
K²=$\frac{100×（30×10-45×15）2}{75×25×45×55}$=$\frac{100}{33}$≈3.030，
因?yàn)?.030＜3.841，所以沒有理由認(rèn)為學(xué)生“利用時(shí)間是否充分”與走讀、住宿有關(guān)．…（8分）
（3）由（1）知：第①組1人，第②組4人，第⑧組5，總計(jì)10人，
則X的所有可能取值為0，1，2，3
P（X=i）=$\frac{{C}_{5}^{i}{C}_{5}^{3-i}}{{C}_{10}^{3}}$，（i=0，1，2，3）
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{0}{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{10}{120}$=$\frac{1}{12}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{50}{120}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{50}{120}$=$\frac{5}{12}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{10}{120}$=$\frac{1}{12}$…（10分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

∴EX=0×$\frac{1}{12}$+1×$\frac{5}{12}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{12}$=$\frac{18}{12}$=$\frac{3}{2}$…（12分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意超幾何分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．