Question

設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，f（0）=2，對任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，則不等式e^xf（x）＞e^x+1的解集為（　�。�

• A、（0，+∞）
• B、（-∞，0）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：本題構(gòu)造新函數(shù)g（x）=e^xf（x）-e^x，利用條件f（x）+f’（x）＞1，得到g′（x）＞0，得到函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，再利用f（0）=2，得到函數(shù)g（x）過定點（0，1），解不等式e^xf（x）＞e^x+1，即研究g（x）＞1，結(jié)合函數(shù)的圖象，得到x的取值范圍，即本題結(jié)論．

解答： 解：令g（x）=e^xf（x）-e^x，
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x，
∵對任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，
∴函數(shù)y=g（x）在R上單調(diào)遞增．
∵f（0）=2，
∴g（0）=1．
∴當(dāng)x＜0時，g（x）＜1；
當(dāng)x＞0時，g（x）＞1．
∵e^xf（x）＞e^x+1，
∴e^xf（x）-e^x＞1，
即g（x）＞1，
∴x＞0．
故選A．

點評：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，還考查了構(gòu)造法思想，本題有一定的難度，計算量適中，屬于中檔題．