Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知斜率為-1的直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M（2，1）
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，且AF•BF=5，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）將直線l的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得a和b的關(guān)系，根據(jù)橢圓的離心率公式，即可求得橢圓方程；
（2）利用橢圓的第二定義，求得丨AF丨及丨BF丨，利用韋達(dá)定理即可求得b的值，即可求得橢圓方程．

解答 解：（1）由題意可知，l的方程為y=-x+3…（2分）
代入$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，得（b²+a²）x²-6a²x+9a²-a²b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{{6{a^2}}}{{{b^2}+{a^2}}}$，x₁x₂=$\frac{{9{a^2}-{a^2}{b^2}}}{{{b^2}+{a^2}}}$，①…（5分）
由AB中點(diǎn)為M（2，1）故$\frac{{6{a^2}}}{{{b^2}+{a^2}}}$=4，即a²=2b²，故$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，②
橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；…（8分）
（2）由①②知橢圓方程為：$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，x₁+x₂=4，x₁x₂=$6-\frac{2}{3}{b^2}$，
$\frac{丨AF丨}{\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{1}}$=e，則丨AF丨=a-ex₁，同理丨BF丨=a-ex₂，…（10分）
丨AF丨•丨BF丨=5，則（a-ex₁）（a-ex₂）=a²-ae（x₁+x₂）+e²x₁+x₂，
=$\frac{5}{3}$b²-4b+3=5，即，5b²-12b-6=0，解得：b=3，b=-$\frac{2}{5}$，…（14分）
則a²=2b²=18，
因此橢圓方程為：$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$ …（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及橢圓第二定義，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．