19．設(shè)x∈（0，$\frac{π}{2}$），則函數(shù)y=4sin2x•cosx的最大值為$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．

分析 利用同角的基本關(guān)系，將y轉(zhuǎn)化為y=4cosx-4cos3x，將t代換成cosx，寫(xiě)出t的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)求得y的極大值，也是最大值．

解答 解：y=4sin2x•cosx=4（1-cos2x）cosx，
=4cosx-4cos3x，
設(shè)cosx=t，x∈（0，$\frac{π}{2}$），t∈（0，1），
∴y=4t-4t3，t∈（0，1），
y′=4-12t2，y′=0，
解得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)t∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），y′＞0，y單調(diào)遞增，
當(dāng)t∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），y′＜0，y單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，取極大值，也是最大值，
y的最大值為：$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．
故答案為：$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角恒等變換，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和最大值，過(guò)程簡(jiǎn)單，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

9．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2，3}，N={3，4，5}，則集合{1，2}可以表示為（　�。�
A．M∩NB．（∁UM）∩NC．M∩（∁UN）D．（∁UM）∩（∁UN）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

10．設(shè)p：1＜x＜2，q：lnx＜1，則p是q成立的（　�。�
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．即不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

7．已知點(diǎn)M（1，0）及雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y2=1的右支上兩動(dòng)點(diǎn)A，B，當(dāng)∠AMB最大時(shí)，它的余弦值為$\frac{1}{3}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

14．若直線x=$\frac{π}{3}$是函數(shù)y=sin（2x+φ）（其中|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象的一條對(duì)稱軸，則φ的值為-$\frac{π}{6}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)f（x）=2cos2x-sin2x．
（1）當(dāng)x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a=2，b=$\sqrt{2}$，其f（$\frac{A}{2}$）=1，求△ABC的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

11．要得到函數(shù)y=2sin2x的圖象，只需將y=$\sqrt{3}$sin2x-2sin2x+1的圖象（　　）
A．向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位B．向左平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位
C．向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位D．向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

8．計(jì)算：（$\frac{25}{16}$）${\;}^{-\frac{1}{2}}$+lne2+C${\;}_{5}^{4}$-（1-$\sqrt{7}$）lg1+sinπ

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

9．函數(shù)f（x）=2sinxcosxcos2x的最小正周期為（　�。�
A．2πB．πC．$\frac{π}{2}$D．$\frac{π}{4}$

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案