Question

7．已知點(diǎn)M（1，0）及雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的右支上兩動(dòng)點(diǎn)A，B，當(dāng)∠AMB最大時(shí)，它的余弦值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，當(dāng)直線(xiàn)MA、MB分別與雙曲線(xiàn)相切于點(diǎn)A、B時(shí)，可得∠AMB取得最大值．建立方程組關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)直線(xiàn)MA與雙曲線(xiàn)相切于點(diǎn)A，直線(xiàn)MB與雙曲線(xiàn)相切于點(diǎn)B時(shí)，
∠AMB取得最大值．
設(shè)直線(xiàn)AM方程為y=k（x-1），與雙曲線(xiàn)消去y，
（$\frac{1}{3}$-k²）x²+2k²x-k²-1=0
∵直線(xiàn)MA與雙曲線(xiàn)相切于點(diǎn)A，
∴（2k²）²-4×（$\frac{1}{3}$-k²）×（-k²-1）=0，解之得k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍負(fù)）
因此，直線(xiàn)AM方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），
同理直線(xiàn)BM方程為y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），
設(shè)直線(xiàn)AM傾斜角為θ，得tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且∠AMB=2θ
∴cos2θ=$\frac{1-ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
即為∠AMB最大時(shí)的余弦值
故答案為：$\frac{1}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題給出雙曲線(xiàn)方程和性質(zhì)，著重考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．