Question

17．某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：℃）之間滿足函數(shù)關(guān)系y=e^kx+b（e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）．已知該食品在0℃的保鮮時間為160小時，在20℃的保鮮時間為40小時．
（1）求該食品在30℃的保鮮時間；
（2）若要使該食品的保鮮時間至少為80小時，則儲存溫度需要滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）由已知中保鮮時間與儲藏溫度是一種指數(shù)型關(guān)系，由已知構(gòu)造方程組求出e^k，e^b的值，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解e^30k+b即可．
（2）由題意y=e^kx+b≥80，結(jié)合指數(shù)冪的運算法則進行求解即可．

解答 解：（1）由題意，$\left\{{\begin{array}{l}{160={e^b}}\\{40={e^{20k+b}}}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{e^b}=160}\\{{e^{10k}}=\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$…（2分）
∴當x=30時，$y={e^{30k+b}}={（{e^{10k}}）^3}•{e^b}=\frac{1}{8}•160=20$．…（4分）
答：該食品在30℃的保鮮時間為20小時．…（5分）
（2）由題意y=e^kx+b≥80，∴${e^{kx}}≥\frac{80}{160}=\frac{1}{2}={e^{10k}}$，…（7分）
∴kx≥10k．
由${e^{10k}}=\frac{1}{2}$可知k＜0，故x≤10．…（9分）
答：要使該食品的保鮮時間至少為80小時，儲存溫度不能超過10℃．…（10分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)解析式的運用，列出方程求解即可，注意整體求解．