Question

5．函數(shù)f（x）=$\frac{|cos（x-\frac{π}{2}）|}{x}$-k在（0，+∞）上有兩個不同的零點a，b（a＜b），則下面結(jié)論正確的是（　�。�

• A． sina=acosb
• B． sinb=-bsina
• C． cosa=bsinb
• D． sina=-acosb

Answer 1

分析 化簡f（x），得方程$\frac{|sinx|}{x}=k$有兩個根，即函數(shù)y=|sinx|和函數(shù)y=kx在（0，+∞）上有兩個交點，畫出函數(shù)圖象，利用導數(shù)求切線即可．

解答 解：f（x）=$\frac{|cos（x-\frac{π}{2}）|}{x}$-k=$\frac{|sinx|}{x}$，
∵f（x）=$\frac{|cos（x-\frac{π}{2}）|}{x}$-k在（0，+∞）上有兩個不同的零點a，b（a＜b），
∴f（x）=$\frac{|sinx|}{x}$-k=0在（0，+∞）上有兩個不同的根a，b（a＜b），
即|sinx|=kx有兩個根，
∴函數(shù)y=|sinx|和函數(shù)y=kx在（0，+∞）上有兩個交點，x＞0且k＞0，畫出兩個函數(shù)的圖象，
則函數(shù)y=|sinx|和函數(shù)y=kx在（0，π）上有一個交點A（a，sina），在（π，2π）上有一個切點B（b，-sinb）時滿足題意，
a，b是方程的根．
當x∈（π，2π）時，f（x）=|sinx|=-sinx，f′（x）=-cosx，
∴在B處的切線為y+sinb=f′（b）（x-b），將x=0，y=0代入方程，得sinb=-b×（-cosb），
∴$\frac{sinb}$=cosb，
∵O，A B三點共線，
∴$\frac{sina}{a}$=$\frac{-sinb}$，
∴$\frac{sina}{a}$=-cosb，
∴sina=-acosb．
故選：D．

點評 本題借助圖象考查了方程的根，函數(shù)的零點，以及導數(shù)的知識．把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點，利用數(shù)形結(jié)合是解題關鍵．