【題目】已知點是圓上的任意一點,點為圓的圓心,點與點關于平面直角系的坐標原點對稱,線段的垂直平分線與線段交于點.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)若軌跡與軸正半軸交于點,直線交軌跡于兩點,求面積的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)圓的的性質(zhì)及對稱的幾何性質(zhì)可得,動點的軌跡是以為焦點,4為長軸長的橢圓,從而可得結果;(2)把直線,代入橢圓方程消去得: ,根據(jù)韋達定理、弦長公式 及點到直線的距離公式、三角形面積公式可將的面積表示為關于 的函數(shù),利用基本不等式求最值即可.
試題解析:(1)由題意知圓的圓心為,半徑為4,
所以,
由橢圓的定義知,動點的軌跡是以為焦點,4為長軸長的橢圓,
設橢圓的方程為(),且焦距為 ,則:
,即,
故橢圓的方程為;
(2)把直線,
代入橢圓方程消去得: ,
由得: 或,
因為直線與橢圓相交于兩點, ,
則, ,
因為點,直線與軸交于點
的面積
,
當且僅當,即時取等號,
滿足
所心面積的取值范圍是.
【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求范圍,屬于難題.解決圓錐曲線中的范圍問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用均值不等式法求三角形范圍的.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某書店銷售剛剛上市的某知名品牌的高三數(shù)學單元卷,按事先擬定的價格進行5天試銷,每種單價試銷1天,得到如表數(shù)據(jù):
單價x(元) | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
銷量y(冊) | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(1)求試銷5天的銷量的方差和y對x的回歸直線方程;
(2)預計今后的銷售中,銷量與單價服從(1)中的回歸方程,已知每冊單元卷的成本是14元,
為了獲得最大利潤,該單元卷的單價應定為多少元?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣lnx.
(1)求曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間:
(3)設函數(shù)g(x)=f(x)﹣x2+ax,a>0,若x∈(O,e]時,g(x)的最小值是3,求實數(shù)a的值.(e為自然對數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】是等邊三角形,邊長為4, 邊的中點為,橢圓以, 為左、右兩焦點,且經(jīng)過、兩點。
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)過點且軸不垂直的直線交橢圓于, 兩點,求證:直線與的交點在一條定直線上.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標方程是,以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)設曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線,若點,直線與交與, ,求, .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對某地區(qū)兒童的身高與體重的一組數(shù)據(jù),我們用兩種模型①,②擬合,得到回歸方程分別為, ,作殘差分析,如表:
身高 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 |
體重 | 6 | 8 | 10 | 14 | 15 | 18 |
0.41 | 0.01 | 1.21 | -0.19 | 0.41 | ||
-0.36 | 0.07 | 0.12 | 1.69 | -0.34 | -1.12 |
(Ⅰ)求表中空格內(nèi)的值;
(Ⅱ)根據(jù)殘差比較模型①,②的擬合效果,決定選擇哪個模型;
(Ⅲ)殘差大于的樣本點被認為是異常數(shù)據(jù),應剔除,剔除后對(Ⅱ)所選擇的模型重新建立回歸方程.
(結果保留到小數(shù)點后兩位)
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為, .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在三棱柱ABOA′B′O′中,∠AOB=90°,側(cè)棱OO′⊥面OAB,OA=OB=OO′=2.若C為線段O′A的中點,在線段BB′上求一點E,使|EC|最。
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