Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)性；

（2）如果對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分類討論即可求出它的單調(diào)性；（2）先求出在上的最大值，則在恒成立，然后可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出在的最大值，即可求出的取值范圍。

（1）因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）由 得，由 得或，

因?yàn)?/span>，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，所以，

由題意，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，

即在上恒成立，

設(shè)，因?yàn)?/span>

令，則

顯然時(shí)，，所以在在單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>，故當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

即當(dāng)時(shí)，時(shí)，，

所以，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

所以，

故時(shí)，在上恒成立，

即對(duì)任意的，都有成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是.