Question

已知在Rt△ABC中，其中∠A為直角，向量

OA

=

i

+

j

，

OB

=2

i

+3

j

，

OC

=（2m+1）

i

+（m-3）

j

，其中

i

，

j

是互相垂直的兩個單位向量．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）過A作AE⊥BC于E，延長AE至D，使四邊形ABDC為直角梯形（其中AC、BD為底邊），用

i

，

j

表示

OD

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）以

i

，

j

為直角坐標(biāo)系的單位向量建立直角坐標(biāo)系．此時

OA

=（1，1），

OB

=（2，3），

OC

=（2m+1，m-3），可得

AB

，

AC

．由∠A為直角，可得

AB

•

AC

=0，解得m即可．
（2）設(shè)

OD

=（x，y），

BD

=（x-2，y-3），

AC

=（4，-2），利用

AC

∥

BD

，可得x+2y-8=0．又

AD

=（x-1，y-1），

BC

=（3，-4），利用

AD

⊥

BC

，可得

AD

•

BC

=0，3x-4y+1=0，聯(lián)立解出即可．

解答： 解：（1）以

i

，

j

為直角坐標(biāo)系的單位向量建立直角坐標(biāo)系．
此時

OA

=（1，1），

OB

=（2，3），

OC

=（2m+1，m-3），

AB

=（1，2），

AC

=（2m，m-4）．
∵∠A為直角，
∴

AB

•

AC

=2m+2（m-4）=0，解得m=2．
（2）設(shè)

OD

=（x，y），

BD

=（x-2，y-3），

AC

=（4，-2），
∵

AC

∥

BD

，∴-2（x-2）=4（y-2），即x+2y-8=0．
又

AD

=（x-1，y-1），

BC

=（3，-4），
∵

AD

⊥

BC

，可得3（x-1）-4（y-1）=0，化為3x-4y+1=0，
聯(lián)立

x+2y-8=0 3x-4y+1=0

，解得

x=3 y= 5 2

，
∴

OD

=(3，

5

2

)，即

OD

=3

i

+

5

2

j

．

點評：本題考查了向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、直角梯形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．