Question

18．在不等式理論的研究和證明中，平均值不等式占有重要的位置，平均值不等式的證明方法多樣、技巧性高．下面介紹的就是其證明方法之一：
先證明引理：如果n個(gè)正數(shù)x₁、x₂…x_n的乘積x₁x₂…x_n=1，那么它們的和x₁+x₂+…+x_n≥n．
再利用引理，證明平均值不等式；對(duì)于n個(gè)正數(shù)a₁、a₂…a_n，它們的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，即
$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$≥$\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$
（1）請(qǐng)你用數(shù)學(xué)歸納法證明引理；
（2）請(qǐng)你利用引理，通過變量代換，證明n個(gè)正數(shù)的平均值不等式．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)學(xué)歸納法．（i）當(dāng)n=1時(shí)，x₁=1≥1，結(jié)論成立．（ii）假設(shè)當(dāng)n≤k，k∈N^*時(shí)，結(jié)論成立，即k個(gè)正數(shù)x₁、x₂，…，x_k的乘積x₁x₂…x_k=1，那么它們的和x₁+x₂+…+x_k≥k．當(dāng)n=k+1時(shí)，k+1個(gè)正數(shù)x₁、x₂，…，x_k，x_k+1的乘積x₁x₂…x_k•x_k+1=1，顯然存在x_i≥1，x_j≤1（i，j∈{1，2，3，…，k+1}），不妨設(shè)i=1，j=2．（x₁-1）（x₂-1）≤0，x₁x₂+1≤x₁+x₂，再利用歸納假設(shè)即可證明．
（2）令x₁=$\frac{{a}_{1}}{\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}•…•{a}_{n}}}$＞0，…，x_n=$\frac{{a}_{n}}{\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}•…•{a}_{n}}}$＞0，可得x₁x₂•…•x_n=1．由引理可得：x₁+x₂+…+x_n≥n，代入整理即可證明．

解答 （1）證明：利用數(shù)學(xué)歸納法．
（i）當(dāng)n=1時(shí)，x₁=1≥1，結(jié)論成立．
（ii）假設(shè)當(dāng)n≤k，k∈N^*時(shí)，結(jié)論成立，即k個(gè)正數(shù)x₁、x₂，…，x_k的乘積x₁x₂…x_k=1，那么它們的和x₁+x₂+…+x_k≥k．
當(dāng)n=k+1時(shí)，k+1個(gè)正數(shù)x₁、x₂，…，x_k，x_k+1的乘積x₁x₂…x_k•x_k+1=1，
顯然存在x_i≥1，x_j≤1（i，j∈{1，2，3，…，k+1}），不妨設(shè)i=1，j=2．則（x₁x₂）•x₃•…•x_k+1=1，
由歸納假設(shè)可得：x₁x₂+x₃+…+x_k+1≥k，∵x₁≥1，x₂≤1，∴（x₁-1）（x₂-1）≤0，∴x₁x₂+1≤x₁+x₂，
∴x₁+x₂+…+x_k+x_k+1≥x₁x₂+1+x₃+…+x_k+1≥k+1．
綜上可知：對(duì)于?n∈N^*，命題成立．
（2）證明：令x₁=$\frac{{a}_{1}}{\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}•…•{a}_{n}}}$＞0，…，x_n=$\frac{{a}_{n}}{\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}•…•{a}_{n}}}$＞0，
∴x₁x₂•…•x_n=1．
由引理可得：x₁+x₂+…+x_n≥n，∴$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{{\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}•…•a}}_{n}}$≥n，即$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$≥$\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、均值不等式，考查了分析問題與解決問題的能力、推理能力，屬于難題．