Question

18．對(duì)定義在區(qū)間I上的函數(shù)f（x），若存在開區(qū)間（a，b）?I和常數(shù)C，使得對(duì)任意的x∈（a，b）都有-C＜f（x）＜C，且對(duì)對(duì)任意的x∉（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間I上的“Z型”函數(shù)，給出下列函數(shù)：①$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2，x≤1}\\{4-2x，1＜x＜3}\\{-2，x≥3}\end{array}}\right.$；②$f（x）=\sqrt{x}$；③f（x）=|sinx|；④f（x）=x+cosx．其中在定義域上是“Z型”函數(shù)的為（　　）

• A． ①
• B． ①②
• C． ②③
• D． ③④

Answer 1

分析 ①根據(jù)題中的定義，逐步判斷即可；
②④在x取無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)值也為無(wú)窮大，③根據(jù)函數(shù)的圖象顯然可判斷．

解答 解：①當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f（x）=4-2x，則-2＜f（x）＜2；
當(dāng)x∈[3，+∞）時(shí)，f（x）=-2，當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，f（x）=2，
∴|f（x）|=2；即滿足對(duì)任意的x∈（1，3）都有-C＜f（x）＜C，且對(duì)任意的x∉（1，3）都有|f（x）|=C恒成立，
即①為R上的“Z型”函數(shù)，故正確；
②④在x取無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)值也為無(wú)窮大，故不存在對(duì)任意的x∉（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，故不是“Z型”函數(shù)，錯(cuò)誤；
③根據(jù)函數(shù)的圖象知函數(shù)為周期函數(shù)，雖然有最值，但不符合題中的條件，不滿足對(duì)任意的x∈（a，b）都有-C＜f（x）＜C，且對(duì)對(duì)任意的x∉（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，故錯(cuò)誤．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查了對(duì)新定義函數(shù)的理解，緊扣定義，利用定義判斷是否符合定義是關(guān)鍵．