Question

10．設$\overrightarrow a=（\sqrt{3}，1），\overrightarrow b=（x，-3）$，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則向量$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的$\overrightarrow b$夾角為（　�。�

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，解得x．再利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\sqrt{3}$x-3=0，解得x=$\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow a-\overrightarrow b$=（0，4），
∴（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）•$\overrightarrow b$=-12，
|$\overrightarrow a-\overrightarrow b$|=4，$|\overrightarrow|$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-3）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
設向量$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的$\overrightarrow b$夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow||\overrightarrow|}$=$\frac{-12}{2\sqrt{3}×4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ的取值范圍是[0，π]，
∴θ=150°．
故選：D．

點評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關系、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．