Question

設(shè)m，k為整數(shù)，方程mx²-kx+2=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則m+k的最小值為（ ）
A．-8
B．8
C．12
D．13

Answer 1

【答案】分析：將一元二次方程的根的分布轉(zhuǎn)化為確定相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象來(lái)處理，根據(jù)圖象可得到關(guān)于m和k的不等式組，此時(shí)不妨考慮利用不等式所表示的平面區(qū)域來(lái)解決，但須注意這不是線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，同時(shí)注意取整點(diǎn)．
解答：解：設(shè)f（x）=mx²-kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，2），
因此要使已知方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)兩個(gè)不同的根，即f（x）的圖象在區(qū)間（0，1）內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
即由題意可以得到：必有，即，
在直角坐標(biāo)系mok中作出滿(mǎn)足不等式平面區(qū)域，
如圖所示，設(shè)z=m+k，則直線(xiàn)m+k-z=0經(jīng)過(guò)圖中的陰影中的整點(diǎn)（6，7）時(shí)，
z=m+k取得最小值，即z_min=13．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與二次方程之間的聯(lián)系，解答要注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）將一元二次方程根的分布轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)來(lái)處理；（2）將根據(jù)不等式組求兩個(gè)變量的最值問(wèn)題處理為規(guī)劃問(wèn)題；（3）作出不等式表示的平面區(qū)域時(shí)注意各個(gè)不等式表示的公共區(qū)域；（4）不可忽視求得最優(yōu)解是整點(diǎn)．