Question

設m，k為整數(shù)，方程mx²-kx+2=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個不同的根，則m+k的最小值為（　�。�

• A、-8
• B、8
• C、12
• D、13

Answer 1

分析：將一元二次方程的根的分布轉(zhuǎn)化為確定相應的二次函數(shù)的圖象來處理，根據(jù)圖象可得到關于m和k的不等式組，此時不妨考慮利用不等式所表示的平面區(qū)域來解決，但須注意這不是線性規(guī)劃問題，同時注意取整點．

解答：解：設f（x）=mx²-kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的圖象恒過定點（0，2），
因此要使已知方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)兩個不同的根，即f（x）的圖象在區(qū)間（0，1）內(nèi)與x軸有兩個不同的交點
即由題意可以得到：必有

m＞0 f(1)=m-k+2＞0 0＜ k 2m ＜1 △=k2-8m＞0

，即

m＞0，k＞0 m-k+2＞0 2m-k＞0 k2-8m＞0

，
在直角坐標系mok中作出滿足不等式平面區(qū)域，
如圖所示，設z=m+k，則直線m+k-z=0經(jīng)過圖中的陰影中的整點（6，7）時，
z=m+k取得最小值，即z_min=13．
故選D．

點評：此題考查了二次函數(shù)與二次方程之間的聯(lián)系，解答要注意幾個關鍵點：（1）將一元二次方程根的分布轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)的圖象與x軸的交點來處理；（2）將根據(jù)不等式組求兩個變量的最值問題處理為規(guī)劃問題；（3）作出不等式表示的平面區(qū)域時注意各個不等式表示的公共區(qū)域；（4）不可忽視求得最優(yōu)解是整點．