Question

正四棱錐P-ABCD中，側(cè)面與底面ABCD所成的角為60°，E是PB的中點(diǎn)，求異面直線PD與AE所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：解：連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO，連接EO，由已知條件推導(dǎo)出∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角，由此能求出異面直線PD與AE所成角的大�。�

解答： 解：連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥面ABCD，
設(shè)F為AD中點(diǎn)，連FO、PF，
由題意知OF⊥AD，PF⊥AD，
∴∠PFO就是側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角．
∴∠PFO=60°，
即側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的大小為60°
連接EO，由于O為BD中點(diǎn)，E為PB中點(diǎn)，
∴EO∥PD，EO=

1

2

PD，
∴∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角，
不妨設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為1，DO=AO=

2

2

，PO=1
在Rt△POD中，PD=

OD2+PO2

=

5

2

，∴EO=

5

4

，
由AO⊥BD，AO⊥PO可知AO⊥面PBD．∴AO⊥EO
在Rt△AOE中，tan∠AEO=

AO

EO

=

2 10

5

，
∴異面直線PD與AE所成角為arctan

2 10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．