Question

18．設向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用向量數(shù)量積公式化簡函數(shù)，結合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求出（2x-$\frac{π}{6}$）的范圍，從而確定f（x）的范圍，化簡函數(shù)，可得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），
∴f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$=（sinx+$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{3}{2}$）•（sinx，-1）
=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcos+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）+2
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故函數(shù)的遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]；
（2）∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
故sin（2x-$\frac{π}{6}$）的最大值是1，sin（2x-$\frac{π}{6}$）＞sin（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)的最大值是3，最小值大于$\frac{3}{2}$，
即函數(shù)的值域是（$\frac{3}{2}$，3]．

點評 本題考查向量知識的運用，考查三角函數(shù)的化簡，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．