Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（b＞0），以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{3{y}^{2}}{4}=1$
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{4{y}^{2}}{3}=1$
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$

Answer 1

分析 以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓的方程為x²+y²=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±$\frac{2}$x，利用矩形ABCD的面積為2b，求出A的坐標(biāo)，代入圓的方程，求得b，即可得出雙曲線的方程．

解答 解：以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓的方程為x²+y²=4，
雙曲線的兩條漸近線方程為y=±$\frac{2}$x，
設(shè)A（x，$\frac{2}$x），x＞0，
∵四邊形ABCD的面積為2b，
∴由對稱性可得2x•bx=2b，
∴x=±1，
將A（1，$\frac{2}$）代入x²+y²=4，可得1+$\frac{^{2}}{4}$=4，
∴b²=12，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，注意運(yùn)用對稱性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．