Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+kx+4

x

（1≤x≤3），若對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x₁、x₂、x₃不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先確定函數(shù)f（x）=

x2+kx+4

x

（1≤x≤3）的最大值與最小值，根據(jù)對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x₁、x₂、x₃不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，可得[f（x₁）+f（x₂）]_min＞f（x₃）_max，從而可求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

x2+kx+4

x

=x+

4

x

+k，
∵1≤x≤3，
∴x=2時，f（x）_min=4+k；x=1時，f（x）_max=5+k，
∵對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x₁、x₂、x₃不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
∴2（4+k）＞5+k，
∴k＞-3，
∴實數(shù)k的取值范圍是（-3，+∞）．
故答案為：（-3，+∞）．

點評：本題考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定函數(shù)的最大值與最小值是解題的關(guān)鍵．