Question

已知函數f（x）=sinx+cosx，△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若f（C-

π

4

）=

6

2

，△ABC的面積為

9 3

2

，且sinA=2sinB，求邊c的值．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的正弦函數

專題：解三角形

分析：f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，根據f（C-

π

4

）=

6

2

，求出sinC與cosC的值，利用正弦定理化簡sinA=2sinB得到a=2b，利用三角形面積公式列出關系式，將各自的值代入求出b的值，確定出a的值，利用余弦定理求出c的值即可．

解答： 解：f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
根據f（C-

π

4

）=

6

2

，得到f（C-

π

4

）=

2

sin（C-

π

4

+

π

4

）=

2

sinC=

6

2

，即sinC=

3

2

，cosC=±

1

2

，
由正弦定理化簡sinA=2sinB，得：a=2b，
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

9 3

2

，即

1

2

×2b²×

3

2

=

9 3

2

，
∴b=3，a=6，
當cosC=

1

2

時，由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=36+9+9=54，即c=3

6

；
當cosC=-

1

2

時，由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=36+9-9=36，即c=6，
則c=3

6

或6．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．