Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x²-3x+1）e^x
（1）求函數(shù)f（x）的極大值和極小值
（2）直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=（x²-x-2）e^x=（x+1）（x-2）e^x，令f′（x）=0，得x=-1或x=2，列表討論，能求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0，由此能求出當(dāng)0＜m＜

5

e

時(shí)，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x²-3x+1）e^x，
∴f′（x）=（x²-x-2）e^x=（x+1）（x-2）e^x，（2分）
由f′（x）=0，得x=-1或x=2，
列表討論，得：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（-x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

（4分）
f（x）_極大=f（-1）=

5

e

，f（x）_極小=f（2）=-e²．（6分）
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0，
x→-∞時(shí)，f（x）→0；x→+∞時(shí)，f（x）→+∞．
∴當(dāng)0＜m＜

5

e

時(shí)，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．