Question

已知函數(shù)f（x）=（x+t）²+4ln（x+1）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于y軸．
（1）求實(shí)數(shù)t的值；
（2）求f（x）的極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′(x)=2(x+t)+

4

x+1

，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出t=-2．
（2）由（1）知f′(x)=

2x(x-1)

x+1

，x＞-1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極值．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x+t）²+4ln（x+1），
∴f′(x)=2(x+t)+

4

x+1

，
∵函數(shù)f（x）=（x+t）²+4ln（x+1）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于y軸，
∴f′(1)=2(1+t) +

4

2

=0，
解得t=-2．
（2）由（1）知f′(x)=

2x(x-1)

x+1

，x＞-1，
由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0或x＞1，
∴f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（-1，0），（1，+∞），
∴f(x)極大值 =f（0）=4，
f（x）_極小值=f（1）=1+4ln2．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．