Question

y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=5+cosx且f（0）=0，如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,其他不等式的解法

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先根據(jù)f′（x）=5+cosx，得到函數(shù)f（x）為增函數(shù)，再根據(jù)f（0）=0，求得f（x）=5x+sinx，再求得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，原不等式轉(zhuǎn)化為1-x＜-1+x²，解得即可．

解答： 解：∵f′（x）=5+cosx，-1≤cosx≤1
∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
∵y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=5+cosx，
∴f（x）=5x+sinx+c，
∵f（0）=0，
∴f（0）=0+0+c=0，
解得c=0，
∴f（x）=5x+sinx，
∵f（-x）=-5x-sinx=-（5x+sinx）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵f（1-x）+f（1-x²）＜0，
∴f（1-x）＜-f（1-x²）=f（-1+x²），
∴1-x＜-1+x²，
解得x＞1，或x＜-2，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為（-∞，-2）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，以及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．