Question

17．已知異面直線a、b成80°角，A為空間中一點(diǎn)，則過A與a、b都成40°角的平面共有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 過A作a，b的平行線a′，b′，則a′，b′所成夾角為80°或100°，設(shè)a′，b′確定的平面為α，符合條件的平面為β，α∩β=l，則l平分a′，b′的夾角，且α⊥β時(shí)，a′，b′與平面β所成的角最大．根據(jù)平面的對稱性即可得出符合條件的平面β的個(gè)數(shù)．

解答 解：過A作a′∥a，b′∥b，設(shè)直線a′、b′確定的平面為α，
∵異面直線a、b成80°角，∴直線a′、b′確所成銳角為80°．
設(shè)過A點(diǎn)的平面β與a′，b′所成的角相等，α∩β=l，則l平分a′，b′所成的銳角或鈍角．
（1）若l平方a′，b′所成的銳角，則當(dāng)α⊥β時(shí)，直線a′，b′與平面β所成的角最大，最大角為40°，
故此時(shí)符合條件的平面只有一個(gè)．
（2）若l平分a′，b′所成的鈍角，則當(dāng)α⊥β時(shí)，直線a′，b′與平面β所成的角最大，最大角為50°，
有對稱性可知此時(shí)符合條件的平面有2個(gè)．
又a′∥a，b′∥b，∴a，b與平面β所成的角等于a′，b′與平面β所成的角．
所以過A與a、b都成40°角的平面共有3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了看見線面位置關(guān)系的判斷，結(jié)合圖形尋找線面角的最大值是關(guān)鍵．