Question

9．函數(shù)f（x）=-2sin²x+sin2x+1，給出下列四個命題：
①在區(qū)間[$\frac{π}{8}，\frac{5π}{8}$]上是減函數(shù)；
②直線x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)圖象的一條對稱軸；
③函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位得到；
④若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則f（x）的值域是[0，$\sqrt{2}$]．
其中，正確的命題的序號是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①④
• D． ③④

Answer 1

分析 將函數(shù)進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)y=f（x）圖象的單調(diào)區(qū)間、對稱軸、平移、值域．

解答 解：$f（x）=cos2x+sin2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$
①求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間：$\frac{π}{2}+2kπ＜2x+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{2}+2kπ$
∴$\frac{π}{8}+kπ＜x＜\frac{5π}{8}+kπ（k∈Z）$，∴①正確；
②求函數(shù)的對稱軸為：2x$+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+kπ$∴$x=\frac{π}{8}+\frac{1}{2}kπ（k∈Z）$∴②正確；
③由y=$\sqrt{2}sin2x$向左平移$\frac{π}{8}$個單位后得到$y=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，∴③不正確；
④當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$∴$sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$∴$f（x）∈[-1，\sqrt{2}]$∴④不正確．
故正確的是①②，故選：A．

點評 本題考查了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，屬于易考題．