Question

【題目】已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，Q為拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，且.

（1）求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M，N分別作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)，設(shè)直線(xiàn)與交于點(diǎn)P，若，求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè).根據(jù).，即.聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程用韋達(dá)定理設(shè)而不求根據(jù)代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立，根據(jù)，即求出M,N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和和之積。MN為外接圓的直徑，求出MN的中點(diǎn)坐標(biāo)和MN的長(zhǎng)的一半即為半徑，從而求得外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（1）由已知得直線(xiàn)的方程為：，設(shè).

由得，.∴.

由得.

∴，解得.∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）設(shè)，，直線(xiàn)，

由已知得，，

解得.由題意得，即.

∴，.

∵，∴，解得.∴，

∴，∴.∴MN為外接圓的直徑.

又∵，

，

∴外接圓的圓心為，半徑為.

∴外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.