Question

已知函數(shù)（，），．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（3）證明不等式 （）．

 

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

（2）；（3）祥見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）首先求出已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后由導(dǎo)數(shù)為正（為負(fù)）求得函數(shù)的增（減）區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就可求得函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；注意分類(lèi)討論；（2）由在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知，恒成立，從而就可利用二次函數(shù)的圖象來(lái)求得字母的取值范圍；或者分離參數(shù)將不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)加以解決；（3）觀(guān)察所證不等式左右兩邊，聯(lián)想已知的函數(shù)，由（2）可知 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，即 令 ， 則 即: ，然后再令n=1，2，3，…，n得到n個(gè)式子，將這n個(gè)式子相加就可得到所證不等式．

試題解析：（1） 1分

則

…2分

（i）若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以 為的增區(qū)間，為的減區(qū)間． 3分

極大值為

所以只有一個(gè)零點(diǎn)．

（ii）若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以 為的減區(qū)間，為的增區(qū)間．

極小值為 4分

所以只有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述，

當(dāng)時(shí)，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 5分

（2） …6分

由在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知，恒成立．

則 恒成立． 7分

(法一)由二次函數(shù)的圖象(開(kāi)口向上，過(guò)定點(diǎn))可得或 8分

則 或，則 或，得 ．

可以驗(yàn)證 當(dāng)時(shí)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增故 ． 9分

(法二)分離變量

因 （當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)）…8分

所以 ， 則．

可以驗(yàn)證 當(dāng)時(shí)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故 9分

（3）由（2）可知 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，

而

所以當(dāng)時(shí)，，即 10分

令 ， 則 …11分

則

所以 ，， ， ，，

以上個(gè)式子累加可得

12分

則

則 13分

則

故 （）． 14分

考點(diǎn)：１．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；２．函數(shù)的零點(diǎn)；３．函數(shù)與不等式的綜合．