Question

1．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PA⊥底面ABCD，PA=AB，點E是PD的中點，作EF⊥PC交PC于F．
（Ⅰ）求證：PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求證：PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結BD，與AC交于G，通過中位線定理及線面平行的判定定理即得結論；
（Ⅱ）通過PA⊥CD及CD⊥AE，可得AE⊥PC，結合EF⊥PC，利用線面垂直的判定定理即得結論；
（Ⅲ）以點A為坐標原點建立空間直角坐標系A-xyz，則所求角的余弦值為平面APC的法向量與平面DPC的法向量的夾角的余弦值，計算可得結論．

解答 （Ⅰ）證明：連結BD，與AC交于G，
∵ABCD是正方形，∴則G為BD的中點，
∵E是PD的中點，∴EG∥PB，
∵EG?平面EAC，PB?平面EAC，
∴PB∥平面EAC；
（Ⅱ）證明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD平面PAD，
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
∵E是PD的中點，PA=AD，∴AE⊥PD，
∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，
而PC?平面PCD，∴AE⊥PC，
又EF⊥PC，AE∩EF=E，
∴PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）解：如圖以點A為坐標原點建立空間直角坐標系A-xyz，設AB=1，
則$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
$\overrightarrow{PD}$=（1，0，0）-（0，0，1）=（1，0，-1），
設平面APC的法向量是$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{m}$=0，
所以z=0，x+y=0，即$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），
設平面DPC的法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}$=0，
所以y=0，x-z=0，即$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
即二面角A-PC-D的大小為$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查線面平行、線面垂直的判定，以及求二面角的大小，注意解題方法的積累，屬于中檔題．