Question

10．已知定點A的坐標(biāo)是（-4，0），橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，F(xiàn)為橢圓的右焦點，M，N兩點在橢圓C上，且$\overrightarrow{MF}$=$\overrightarrow{FN}$
（1）求$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{AF}$；
（2）若$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{AN}$=$\frac{106}{3}$，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（c，0），求得向量MF，F(xiàn)N的坐標(biāo)，由向量相等的條件，結(jié)合點在橢圓上滿足橢圓方程，可得M，N的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到所求值；
（2）求得向量AM，AN的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和離心率公式和橢圓的a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：（1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（c，0），
$\overrightarrow{MF}$=（c-x₁，-y₁），$\overrightarrow{FN}$=（x₂-c，y₂），
由$\overrightarrow{MF}$=$\overrightarrow{FN}$，可得c-x₁=x₂-c，-y₁=y₂，
即有x₁+x₂=2c，y₁²=y₂²，
由M，N兩點在橢圓C上，可得
x₁²=a²（1-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$），x₂²=a²（1-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$），
則有x₁²=x₂²，
又x₁+x₂=2c，則x₁=x₂=c，
則M（c，$\frac{^{2}}{a}$），N（c，-$\frac{^{2}}{a}$），
即有$\overrightarrow{MN}$=（0，-$\frac{2^{2}}{a}$），
$\overrightarrow{AF}$=（c+4，0），
則$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{AF}$=0•（c+4）+（-$\frac{^{2}}{a}$）•0=0；
（2）由（1）可得M（c，$\frac{^{2}}{a}$），N（c，-$\frac{^{2}}{a}$），
A（-4，0），
$\overrightarrow{AM}$=（c+4，$\frac{^{2}}{a}$），$\overrightarrow{AN}$=（c+4，-$\frac{^{2}}{a}$），
由$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{AN}$=$\frac{106}{3}$，可得（c+4）²-$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$=$\frac{106}{3}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²-b²=c²，
解得c=2，a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
則有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，同時考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運算能力，屬于中檔題．